Frattali: geometria della natura (par.1 - 2)

Frattale di Mandelbrot: la figura a) si ritrova, simile a se stessa nei successivi ingrandimenti; addirittura ingrandendo la sottile linea orizzontale contenuta nelle prime tre immagini, già in d) si percepisce un piccolo nodo, che, ingrandito ancora,diventa l’immagine f), la quale contiene ancora l’immagine a).

1. Introduzione

La geometria frattale è una recente branca della matematica; parte dall'osservazione che alcune forme presenti in natura (coste, rami di un albero, fiocchi di neve, ecc…) sono ben lontane dalle figure regolari della geometria euclidea, e quindi si propone di usare enti geometrici non convenzionali per “leggere” e “descrivere” proprio le forme di irregolarità presenti in natura.Galileo Galilei, che è universalmente considerato il padre del metodo scientifico, sintetizzava magistralmente il suo pensiero:“Il libro della natura è scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”(Il Saggiatore )A più di tre secoli di distanza Benoit Mandelbrot scrive:

“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure… mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi.”(da Les objects fractals 1975”)Nascono i frattali, modelli atti ad imprigionare in formule matematiche quelle forme della natura come fiori, alberi, fulmini, fiocchi di neve, cristalli, che fin’ora non erano state considerate riproducibili con regole matematiche. La geometria frattale (dal latino frangere cioè spezzare) è lo studio di forme ripetitive di base che ci consentono di trovare le regole per generare alcune strutture presenti in natura.In questo modo Mandelbrot introduce la geometria frattale, che nasce come un nuovo linguaggio di descrizione delle forme complesse della natura; ma, mentre gli elementi della geometria (linee, cerchi, triangoli,…) si possono visualizzare facilmente, quelli del nuovo linguaggio non si prestano all'osservazione diretta; essi sono algoritmi, processi che possono essere trasformati in forme e strutture solo con l’aiuto di un computer. E’ proprio ciò che oggi avviene nelle produzioni cinematografiche, nelle quali interi paesaggi vengono ricostruiti al calcolatore, come se fossero reali, utilizzando costruzioni iterative.

2. Che cos’è un frattale

 "Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti".Benoit Mandelbrot (Les objects fractales,1975)I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamentocorrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:1. Autosimilitudine: F è l’unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è l’unione di copie di se stesso a scale differenti.

Ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizzerà ancora un insieme ricco di particolari e complesso come il precedente. Da tale proprietà scaturiscono due caratteristiche:a. le curve frattali pur essendo continue non ammettono un’unica tangente in un punto; sono cioè curve ovunque continue e mai derivabili;b. presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza è sempre infinita; vuol dire che la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitivamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale, anzi se si pensa al frattale finale, la sua lunghezza è infinita.2. Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.3. Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.La funzione è ricorsivaF = {Z | Z = f(f(f(...)))}applicata cioè rimettendo ogni volta in input, l’output del passo precedente (vedi di seguito il paragrafo 2.1.Ricorsione)4. Dimensioni frazionarie: la caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare tutte le infinite iterazioni) in uno spazio a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (vedi di seguito il paragrafo 2.Dimensione)