Scuola & Istruzione
Dal triangolo al fiocco di neve
Un merletto? Un fiocco di neve? E' il primo frattale della storia e fu descritto per caso da Helge von Koch (1904) senza neanche sapere che fosse un frattale, per caso mentre studiava curve continue ma non derivabili. La sua costruzione è facilissima e, forse proprio per questo, affascianante.
L'inizio
“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure… mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi.”
(da Les objects fractals 1975 - Benoit Mandelbrot)
Allora vediamo come si costruisce un merletto matematico:
All'inizio, ovvero al passo 0 (p=0), prendiamo un segmento di lunghezza fissa.
Al passo 1 (p=1) dividiamo il segmento in tre parti e su quella centrale costruiamo un triangolo equilatero a cui toglieremo la base. Il gioco è fatto! Ripeteremo sempre la stessa cosa su tutti i segmenti che si presenteranno, come nella figura seguente
Dopo n iterazioni l'immagine sarà la seguente:
Come possiamo vedere questo bellissimo merletto che si genera è autosimile, ovvero simile a se stesso, cioè è un vero e proprio frattale!
Ora basta costruire la curva di Von Koch, intorno ai tre lati di un triangolo equilatero ed ecco fiorire un fiocco di neve.