Piccolo viaggio tra le operazioni 2

In questo articolo ci occuperemo di operazioni binarie.

Nella parte 1 di queste lezioni abbiamo tacitamente presentato solo le operazioni COMMUTATIVE , in quanto definite per mezzo di funzioni da sottoinsiemi di un dato insieme, quindi , essendo i sottoinsiemi ( da un punto di vista più generale ) privi di ordine, dobbiamo concludere che , per le operazioni viste in 1 , l'ordine degli elementi non conta.

Per operazioni di questo tipo (come l'addizione) si parla di commutatività , ma esistono anche altri tipi di operazioni per le quali non vale (ad esempio la divisione).

Consideriamo ancora il simbolo # per indicare una generica operazione , ebbene , per una operazione binaria non commutativa , deve valere a#b ~= b#a per qualche a e b ( abbiamo usato il simbolo ~= per indicare 'diverso da' ). 

Presentiamo ora un'altra proprietà.

Per una op. bin. può valere o no la cosiddetta legge ASSOCIATIVA .

Consideriamo tre elementi dell'insieme di partenza e combiniamo i primi due e dopo il terzo , ovvero con l'aiuto delle parentesi: 

(a#b)#c 

Ci chiediamo se possiamo dire che il valore di sopra sia uguale a : a#(b#c).

Ebbene la proprietà di associatività è definita proprio da questa regola di scambiare le parentesi (si noti che l'addizione è associativa mentre non lo è la divisione).

Notiamo che essendo le parentesi invarianti esse sono inessenziali, infatti non conta l'ordine in cui facciamo le operazioni.

Questa proprietà si estende ad un qualunque numero di operazioni (purché non infinito) , difatti si ragiona così: 

se abbiamo trovato che per un numero n di operazioni non contano le parentesi, allora proviamo che vale per n+1 operazioni ( questo tipo di ragionamento si chiama 'per INDUZIONE' ed è di grande utilità in matematica) (si noti che abbiamo già gratuita la valenza per n=2 operazioni poichè dalla proprietà associativa).

Siano (a#b#...#z)#h  n operazioni (fino a z) più una (con h), allora per la proprietà ass. possiamo scrivere : (a#b#...#y)#z#h e , usando di nuovo la prop. ass. , (a#b#...#y)#(z#h) da cui considerando le n-1 op. da 'a' a 'y' e come unico elemento 'z#h' si ha a#b#...#y#(z#h)  (senza parentesi) dato che sappiamo valere la prop. ass. per n operazioni.

La dimostrazione si conclude qua , sapendo che per n possiamo considerare qualunque numero finito.

La dim. di sopra può sembrare 'pesante' ma ha il pregio di esporre con chiarezza il perché possiamo togliere le parentesi in presenza di op. ass. 

È proprio questa la forza delle dimostrazioni in matematica.

Diamo ora una definizione tramite funzioni e insiemi di una op. bin. commutativa.

'Una op. bin. com. è una funzione dall'insieme delle coppie ORDINATE di un insieme di partenza, ad un insieme di arrivo'.

Notiamo che l'addizione ha come insieme di arrivo proprio l'insieme di partenza (considerando per es. i numeri naturali); 

quando l'insieme di arrivo è un sottoinsieme di quello di partenza , allora l'operazione si dice CHIUSA rispetto a quell'insieme.

Esiste una disciplina in matematica , detta 'teoria dei gruppi' , che prende in considerazione solo op. binarie associative chiuse , con o senza commutatività, dotate di altre proprietà.