Piccolo viaggio tra le operazioni 1

Tutti conosciamo le operazioni base della matematica : addizione, moltiplicazione e divisione, ma formalmente esistono moltissime operazioni. Una op. può essere definita binaria , terziaria , quaternaria , ecc. a seconda dei fattori che vi compaiono.

Facciamo un esempio (useremo qui il simbolo # per indicare una generica operazione!) : 

a#b=c indica che si sta svolgendo una operazione BINARIA poichè i fattori che vi compaiono sono 'a' e 'b' (che danno luogo a 'c') , quindi per esempio 2+3=5 è una operazione binaria. Per estendere il concetto di operazione a più fattori usiamo le parentesi quadre: così [a,b,c]=d è una op. terziaria,

[a,b,c,d]=e è quaternaria, ecc.

Il concetto di operazione è intimamente legato a quello di FUNZIONE.

Una funzione è una 'legge' che ad un elemento associa un altro ed UNICO elemento. 

Voglio ribadire il concetto di unico sopracitato: se ad esempio ad un gruppo di persone associamo le loro passioni in comune , allora i risultati potranno essere molti,  ma se ad un gruppo di persone associamo la loro età media, allora il risultato è unico. È quest'ultima che prende il nome di funzione (le altre esistono e sono studio in matematica, ma si chiamano funzioni polidrome e non ce ne occuperemo qui).

Ora ci chiediamo che rapporto hanno le funzioni con le operazioni, ebbene se scegliamo il tipo di operazione (binaria,terziaria,ecc.) possiamo considerare il suo insieme di azione (abitanti d'Italia,numeri naturali,numeri reali,ecc.) e quindi i sottoinsiemi di due , tre, ecc. elementi a seconda del tipo di operazione scelta. Ora la corrispondenza tra funzioni e operazioni è facile , ovvero: 'una operazione (n-aria) è una funzione tra due insiemi (insieme di arrivo e di partenza) dove a sottoinsiemi di n-elementi , dell'insieme di partenza , si associa un elemento dell'insieme di arrivo'.

Si noti che abbiamo parlato di insiemi ( ovvero raccolte di elementi diversi tra loro) per definire una operazione.

Concentriamo dunque la nostra attenzione alle funzioni.

L'insieme di partenza si chiama DOMINIO di una funzione. Quindi per esempio per una operazione n-aria il dominio è l'insieme dei sottoinsiemi di n-elementi dell'insieme di tutti gli elementi da operare.

L'insieme di arrivo è chiamato CO-DOMINIO.

Ora può succedere che una funzione non abbia , come suo insieme di soluzioni , tutti gli elementi del co-dominio , allora l'insieme delle soluzioni viene chiamato insieme IMMAGINE.

Può capitare che l'insieme immagine coincidi con il co-dominio, allora la funzione viene chiamata SURIETTIVA.

Mentre è più fine il concetto di funzione INIETTIVA.

Quest'ultima si definisce come la funzione che ad ogni elemento dell'immagine è associato un unico elemento del dominio.

Ebbene sì abbiamo fatto il passo contrario , ovvero: partire dall'immagine e arrivare al dominio, questo infatti è la caratteristica di una funzione iniettiva. La funzione iniettiva è una corrispondenza 'uno a uno' , ovvero che due elementi qualsiasi del dominio non possono avere come immagine un elemento comune.

Grazie a questa particolarità delle funzioni iniettive possiamo generare la funzione INVERSA scambiando i ruoli di dominio e immagine.

Quelle sopra riportate sono le definizioni di funzione.

Le funzioni tra numeri , o tra insiemi più astratti , sono di grande studio in matematica, esse si presentano in ogni disciplina : dalla analisi alla topologia, dall'algebra alla statistica. 

Per ogni disciplina si definiscono opportune tipologie di insiemi e le loro funzioni dotate di altre proprietà (come la continuità, la differenziabilità , l'integrabilità , la monotonia , l'isometria , ecc.).

Una disciplina moderna della matematica , chiamata teoria delle categorie, studia collezioni di insiemi (o categorie) dotati delle funzioni ad essi applicate , qualunque funzioni esse siano, se della geometria, se dell'analisi , o della teoria dei numeri o di altra disciplina.