L'importanza dell'opinione in matematica

Come in molti sanno i concetti di assioma , implicazione e deduzione sono forse i concetti limite più importanti della matematica, poiché rivestono la base per una trattazione quasi coerente e completa della stessa.

Di fatti la logica proposizionale, che, insieme ad alcuni assiomi, durante l'ultimo '800 e i primi del '900 si impose come una teoria che poteva dimostrare tutte le proposizioni della aritmetica.

Kurt Gödel dimostrò che le cose non stavano proprio così.

Il teorema di incompletezza di Gödel è stato, per la sua profondità, un fulmine a ciel sereno per molti matematici che credevano di poter far poggiare la matematica su basi solide e inconfutabili, infatti dimostrò che tutti i sistemi formali (sistemi logici di dimostrazioni), abbastanza potenti da contenere l'aritmetica erano 1. incompleti e 2.la loro coerenza è indimostrabile all'interno dei sistemi stessi, e condanno, quindi, la visione formale della matematica a una eterna circolarità di significato.

Prima di Gödel enormi sforzi furono compiuti in senso contrario per dimostrare che esistesse un sistema formale in grado di spiegare tutta la matematica , completo e coerente (cioè senza contraddizioni interne).

Bertrand Russell scrisse insieme al suo professore Whitehead i cosidetti 'Principia Mathematica': un'opera monumentale dove tentavano di rendere sistematica la matematica con assiomi e basi logiche.

Il loro approccio riuscì a descrivere la teoria degli insiemi , grazie anche ad una tipizzazione degli stessi insiemi (non esiste l'insieme di tutti gli insiemi ma la 'classe' di tutti gli insiemi, altrimenti si arriverebbe al paradosso dello stesso Russell).

Gödel distrusse il sogno di questi due matematici, eccelsi, con i suoi teoremi.

Diversa ma pur sempre particolare fu la storia del quinto postulato di Euclide.

Esso afferma che due rette, che, intersecate con una terza , formano con essa due angoli , da uno o dall'altro lato, la cui somma è minore di un angolo piatto allora le due rette si incontrano.

Molti matematici tentarono di dimostrare il quinto postulato per mezzo degli altri quattro , molto più semplici e intuitivi, ma invano.

Quando, finalmente, decisero di imporne la falsità e da quella nacquero le geometrie non euclidee (si noti che affermando il quinto postulato vero si ottiene la geometria del piano che tutti intuitivamente e per studio conoscono), dove rette parallele o si incontrano (geometria ellittica) o divergono (geometria iperbolica)!

Spero di essere riuscito a dimostrare che in matematica l'opinione conta!