Introduzione alle funzioni 2

Continuiamo a trattare le funzioni in modo formale.

Come abbiamo già detto le funzioni possono essere di varia natura, a seconda di come vengono associati gli elementi tra due insiemi.

Naturalmente dalle definizioni è sempre possibile trasformare una funzione in suriettiva, riducendo però il co-dominio al suo insieme immagine.

Vediamo ora se la composizione di funzioni suriettive è o no suriettiva.

Ebbene la risposta e sì, infatti se h=f°g e f ha come dominio l'insieme A, come co-dominio l'insieme B e g va da B a C allora sappiamo che per ogni z di C esiste y di B tale che y è inviato in z da g (questo perché è suriettiva) stesso discorso per y che grazie a f deriva da una x in A, quindi ogni z in C deriva da una x in A attraverso h ,di conseguenza h è suriettiva ( ogni elemento del co-dominio appartiene all'insieme immagine).

Un discorso analogo si può fare per la composizione di funzioni iniettive: basta notare che se g e f sono iniettive una z nell'insieme immagine di h non può essere l'immagine di due o più elementi del dominio, quindi la corrispondenza è di 'uno a uno'.

Conseguenza di questi ragionamenti è che : composizione di funzioni invertibili è invertibile!

Notiamo che l'operazione di composizione tra funzioni è effettivamente una operazione , binaria in questo caso (vedi 'piccolo viaggio tra le operazioni').

Quindi come tutte le operazioni possiamo chiederci se essa è associativa.

Ebbene sì, infatti si vede facilmente considerando tre funzioni f, g e d e notando che f°(g°d)=(f°g)°d per ogni elemento del dominio di f inviato al co-dominio di d.

Questa operazioni però non è commutativa, in quanto supponendo che gli insiemi siano compatibili tra loro (ovvero volendo mostrare che f°g=g°f , inevitabilmente i domini di f e g e i loro co-domini devono essere lo stesso insieme, altrimenti si avrebbe già una disuguaglianza per la differenza tra insiemi), si può trovare un controesempio.

Un controesempio è essenzialmente una prova esplicita di una proposizione, in questo caso si trovano due funzioni, da uno stesso insieme in se stesso, tali che non vale la commutatività.

Per trovare queste funzioni consideriamo l'insieme {1,2,3} e consideriamo f tale che 

1->2

2->3

3->1

(abbiamo indicato esplicitamente la legge che associa ogni elemento ad un altro).

Consideriamo ora g tale che 

1->2

2->1

3->3

si vede facilmente che 1 è inviato in 1 da f°g mentre è inviato in 3 da g°f.

Ci viene naturale ora dire quando le funzioni possono essere uguali tra loro, ovvero come la definizione, quando la legge che le definisce è la stessa o , meglio, quando i domini sono uguali, i co-domini sono uguali e le funzioni mandano elementi uguali in elementi uguali.

Un po' più fine e ricercata , ma molto simile al concetto di uguaglianza tra funzioni, è il concetto di isomorfismo, che considereremo nel seguito.