Introduzione alle funzioni 1

Abbiamo già incontrato le funzioni in 'breve viaggio tra le operazioni 1' , ora ci proponiamo di entrare più nello specifico.

Come abbiamo detto le funzioni possono essere suriettive e iniettive, ora se una funzione è sia suriettiva sia iniettiva si dice BIIETTIVA .

Il concetto di funzione biiettiva permette di invertire i ruoli di dominio e co-dominio, infatti , essendo la funzione iniettiva, possiamo invertirla e ottenere la funzione che va dall'insieme immagine al dominio; se poi la funzione è suriettiva possiamo identificare l'insieme immagine con il co-dominio.

Otteniamo così la funzione inversa di quella data, e si invertono i ruoli di dominio e co-dominio.

Tutta questa complessità può risultare superflua ma è essenziale se vogliamo che la funzione sia BEN DEFINITA.

Una funzione è ben definita se rispetta la definizione, ovvero: essa è una legge che associa ogni elemento di un insieme dato a un unico elemento di un altro insieme.

Ovvero una funzione è ben definita se non è polidroma (vedi 'breve viaggio tra le operazioni 1').

Quindi, riprendendo la definizione di funzione, possiamo vedere quest'ultima come una 'macchina ideale' che ad ogni elemento in input ne da uno ed uno solo in output.

Il concetto di insieme qui presentato è molto intuitivo e deve essere preso con le pinze, ritorneremo in avanti su questo concetto basilare in matematica.

Per ora diciamo che un insieme è una collezione di oggetti distinti.

Tornando alle funzioni, definiamo la composizione di funzioni.

Supponiamo di avere una funzione f che ha come dominio l'insieme A e come co-dominio l'insieme B , supponiamo inoltre di avere una funzione g con dominio l'immagine di f in B e come co-dominio C.

Allora diciamo che h è la funzione COMPOSTA tra f e g se ogni elemento di A viene associato ad un elemento dell'insieme C facendo agire prima f e poi g (scriviamo f°g=h e leggiamo : f composto g uguale h).

Per esempio se un elemento x di A è inviato da f in y dell'insieme B e poi y è inviato in z dell'insieme C da g allora h associa , semplicemente, x a z.

Le funzioni sono di enorme studio in matematica e rappresentano , assieme agli insiemi, la base su cui poggiano i fondamenti della stessa.