Laccio di scarpa

Cari amici eccomi qui con un’altra curiosità.

Supponiamo di voler calcolare l'area di un poligono di cui si conoscano le coordinate cartesiane dei vertici in un fissato riferimento ortonormale. Esiste un procedimento detto del "laccio di scarpa", che consiste nel disporre le coordinate in oggetto in una matrice rettangolare e nel calcolare opportuni prodotti muovendosi lungo la medesima, in un modo che ricorda appunto quello con cui si mettono le stringhe nelle scarpe. Vediamo un esempio, considerando un pentagono ABCDE le cui coordinate sono quelle in figura, disposte in una matrice 5x2. Si moltiplica l'ascissa di A per l'ordinata di B, l'ascissa di B per l'ordinata di C, l'ascissa di C per l'ordinata di D, l'ascissa di D per l'ordinata di E e l'ascissa di E per l'ordinata di A, seguendo le frecce viola in figura. Tali prodotti vanno sommati, ottenendo un primo numero (277).

Successivamente si moltiplica l'ordinata di A per l'ascissa di B, l'ordinata di B per l'ascissa di C, l'ordinata di C per l'ascissa di D, l'ordinata di D per l'ascissa di E e l'ordinata di E per l'ascissa di A, seguendo le frecce grigie in figura. Tali prodotti vanno a loro volta sommati, ottenendo un secondo numero (213). A questo punto i due numeri vanno sottratti. L'area del poligono è pari alla metà del valore assoluto di tale differenza.

Tale formula nota come "formula dei lacci di scarpe" (shoelace formula) è dovuta a Gauss.

In effetti, è una conseguenza della formula di Gauss-Green nel piano.

P. S. Se i vertici del poligono sono disposti in matrice in modo che il poligono stesso sia percorso in senso antiorario, il valore assoluto non è necessario: basta calcolare la differenza tra il primo e il secondo numero.

Se qualcosa non è chiaro potete contattarmi qui.